چکیده: در این پایان‌نامه به مطالعه منظم و توسعه روش‌های عددی طیفی مبتنی بر چندجمله‌ای‌های ژاکوبی و تعمیم‌های آن می‌پردازیم. در گام نخست، یک خانواده گسترده از چندجمله‌ای‌ها و توابع ژاکوبی تعمیم‌یافته با اندیس‌های حقیقی دلخواه را معرفی می‌کنیم که تحت وزن ژاکوبی متناظر متعامد بوده و مهم‌ترین خواص مفید چندجمله‌ای‌های کلاسیک را برای تقریب طیفی حفظ می‌کنند. این توابع به‌عنوان توابع پایه در روش عددی گالرکین طیفی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی با شرایط مرزی همگن به‌کار گرفته شده‌اند. این کاربرد سه مزیت اصلی دارد: بررسی و تحلیل ریاضی دقیق، پیاده‌سازی بهینه، سریع و حل دستگاهی از معادلات ماتریسی که دارای شرایط عددی مطلوبی است که درنهایت منجر به تخمین‌های خطای بهتری برای جواب تقریبی می‌شود. در گام بعدی، به حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری ولترا می‌پردازیم. با استفاده از روش هم‌مکان طیفی ژاکوبی و تبدیل مسئله به یک معادله انتگرالی، یک الگوریتم عددی کارآمد مبتنی بر نقاط و وزن‌های انتگرال‌گیری ژاکوبی-گاوس طراحی می‌شود. تحلیل همگرایی دقیق روش در نرم‌های L^\infty و L^2 ارائه شده و دقت طیفی (همگرایی نمایی) برای جواب‌های هموار و همگرایی جبری بهینه برای جواب‌های ناهموار با دارای تکنیک ضعیف در انتهای بازه ثابت می‌گردد. نتایج عددی فراوان نشان می‌دهد که این روش کارا و دقیق است. همچنین، نرخ همگرایی که در تحلیل نظری پیش‌بینی شده است برای مسائل مختلف به‌خوبی مشاهده می‌شود. در یک‌کلام، این پژوهش ثابت می‌کند که روش‌های طیفی با پایه ژاکوبی، ابزاری توانمند، دقیق و دارای مبانی نظری محکم برای حل مسائل پیچیده‌ای مانند معادلات دیفرانسیل مرتبه‌کسری و معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری هستند.