چکیده: در سال‌های اخیر، کاربردهای گسترده‌ای از توابع ماتریسی مانند لگاریتم و ریشه دوم در حوزه‌های میان‌رشته‌ای مانند پردازش تصاویر پزشکی ظهور کرده‌است. از جمله این کاربردها، چارچوب لگاریتم–اقلیدسی برای ثبت و تحلیل تصاویر پزشکی است که مبتنی بر تبدیل ماتریس‌های متقارن مثبت‌معین به فضای برداری از طریق تابع لگاریتم ماتریسی است. صحت و پایداری این روش‌های کاربردی مستلزم درک دقیق شرایط وجود و یکتایی لگاریتم و ریشه دوم برای ماتریس‌های حقیقی است. هدف اصلی این پایان‌نامه، بررسی این مفاهیم از دیدگاه نظری با تکیه بر ابزارهای جبر خطی است. در این راستا، ابتدا قضیه کلاسیک کالور (۱۹۶۶) در مورد شرط لازم و کافی وجود لگاریتم حقیقی، که اخیراً توسط گالیه (۲۰۱۹) با استفاده از فرم جردن حقیقی بازسازی شده، مورد مطالعه قرار می‌گیرد. این شرط بر زوج بودن تعداد بلوک‌های جردن متناظر با هر مقدار ویژه منفی در ساختار ماتریس استوار است. سپس با معرفی مجموعه‌های مناسب و ، مسئله یکتایی لگاریتم اصلی و ریشه دوم اصلی حل می‌شود و نشان داده می‌شود که توابع نمایی و مجذورسازی به ترتیب یکریختی هموارهایی بر این مجموعه‌ها هستند. این مبانی نظری، شالوده ریاضی الگوریتم‌های عددی پایدار مانند الگوریتم معکوس‌سازی مقیاس و مجذورسازی را تشکیل می‌دهند. در نهایت، ارتباط مستقیم این نتایج با کاربردهای عملی در پردازش تصاویر پزشکی به ویژه در ثبت غیرصلب تصاویر، از طریق مدل لگاریتم–اقلیدسی (LEPT) مورد تاکید قرار می‌گیرد. این تحقیق نشان می‌دهد که چگونه درک عمیق از ساختار جبری ماتریس‌ها امکان توسعه روش‌های محاسباتی قابل اعتماد برای حل مسائل پزشکی فراهم می‌سازد