چکیده: ‎ فرض کنید R یک حلقه ی جابه‌جایی و یکدار باشد. رابطه‌ی ~ روی R که به صورت a ~ b اگر و تنها اگر ann(a)=ann(b)، تعریف می‌شود یک رابطه‌ی هم‌ارزی است. گراف مقسوم‌علیه صفر فشرده که با نماد ΓE(R) نشان داده می‌شود، گرافی است که رأس‌های آن کلاس‌های هم‌ارزی القا شده توسط ~ به جز [ ۰] و [ ۱] می باشند، به طوری ‌که دو رأس متمایز [b] و [a] به هم وصل هستند اگر و تنها اگر 0ab=. در این رساله شرایطی را بررسی می‌کنیم که تحت آن هاE(R)Γ مسطح است. ابتدا تمام حلقە‌های متناهی غیرموضعی را ردە‌بندی می‌کنیم که گراف مقسوم‌علیه صفر فشردە‌ی آن ها مسطح باشد. در حالت موضعی دربرخی حالت‌ها تمام گراف‌هایی که گراف مقسوم‌علیه صفر فشردەی یک حلقەی موضعی هستند را مشخص می‌کنیم. در انتها تمام گراف‌هایی را که حداکثر 5 رأس دارند و گراف مقسوم‌علیه صفر فشرده هستند را مشخص می‌کنیم.