\chapter{اندازه‌ها و ارزیابی‌ها}
\thispagestyle{empty}
\section{اندازه‌ها و تابعی‌های خطی مثبت روی $\mathrm{C(X)}$}
فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیکی روی ... \index{تابع خطی}
\section{تابعی‌های خطی}
در این بخش ...

\begin{definition}
مجموعه همه ارزیابی‌های  (پیوسته)  روی $(X,\tau)$، دامنه توانی احتمالی
\index{دامنه توانی احتمالی}
$ X $
نامیده می‌شود.
\end{definition}
\begin{theorem}[باناخ-آلااغلو]
\index{قضیه باناخ-آلااغلو}
اگر $ V $ یک همسایگی $ 0 $ در فضای برداری 
\index{فضای!برداری}
 توپولوژیکی $ X $ باشد و 
\begin{equation}\label{eq1}
K=\left\lbrace \Lambda \in X^{*}:|\Lambda x|\leqslant 1 ; \ \forall x\in V\right\rbrace,
\end{equation}
آنگاه $ K $،  ضعیف*-فشرده است که در آن، $ X^{*} $ دوگان
\index{فضای!دوگان}
 فضای برداری \index{فضای برداری}  توپولوژیکی $ X $ است به ‌طوری که عناصر آن،  تابعی‌های 
خطی پیوسته
\index{تابعی خطی پیوسته}
 روی $X$ هستند.
\end{theorem}
تساوی \eqref{eq1} یکی از مهم‌ترین تساوی‌ها در آنالیز تابعی\index{آنالیز تابعی} است که در ادامه، به وفور از آن استفاده می‌شود.
\begin{example}
برای هر فضای مرتب، گردایه 
$$U:=\left\lbrace U\in O: U=\uparrow U\right\rbrace $$
از مجموعه‌های بالایی باز، یک توپولوژی تعریف می‌کند که از توپولوژی اصلی، درشت‌تر  است.
\end{example}
حال تساوی 
\begin{equation}\label{eq2}
\sum_{n=1}^{+\infty} 3^{n}x+70x=\int_{1}^{n}8nx+\exp{(2nx)}
\end{equation}
را در نظر بگیرید. با مقایسه تساوی \eqref{eq2} با تساوی \eqref{eq1} می‌توان نتیجه گرفت که ...